Если апелляционный суд вынес решение в мою пользу - выплатить среднюю заработную плату в случае не выплаты в срок расчетных при увольнении. Можно ли нести это решение в исполнительную службу или надо выписывать исполнительный лист в суде первой инстанции?

Нет, на основании самого решения апелляционного суда вам не откроют исполнительное производство. Необходимо обращаться в суд первой инстанции с тем, чтобы вам выдали исполнительный лист. И уже с решением и исполнительный листом можно идти в исполнительную службу.